Question

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝3，an+1+ann+1＝8an+1?an(n∈N*)，设bn＝1an，Sn=b12+b22+…+bn2．

已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝3，an+1+ann+1＝8an+1?an(n∈N*)，设bn＝1an，Sn=b12+b22+…+bn2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求证：Sn＜14．

Answer 1

（I）∵

an+1+an

n+1

＝

8

an+1?an

，
∴a_n+1²-a_n²=8（n+1）
∴a_n²=（a_n²-a_n-1²）+（a_n-1²-a_n-2²）+…+（a₂²-a₁²）+a₁²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）²
∴a_n=2n+1．…（5分）
（II）

b

2 n

＝

1

a 2 n

＝

1

(2n+1)2

＜

1

4n(n+1)

＝

1

4

(

1

n

?

1

n+1

)∴Sn＜

1

4

[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]＝

1

4

(1?

1

n+1

)＜

1

4

…（12分）