Question

已知数列｛an｝的各项均为正数，且满足an+1=an+2√an+1，a1=2

求证：数列｛√an｝是等差数列
求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

an+1=an+2√an+1
(√an+1)²=（√an)²+2√an+1=(√an+1)²
∵｛an｝的各项均为正数
∴√(an+1)=√an+1
∴√an是等差数列
d=1
√an=√a1+(n-1)=√2+n-1=n+√2-1
an=(n+√2-1)²

Answer 2

A(n+1)=(√(An) + 1)^2; 可得√(An+1)=√(An) + 1,可得｛√An｝是等差数列,d=1,
√A1=√2,√An=√2+(n-1)x1, 两边平方可得An=(n-1)^2+2+2x√2x(n-1), n>1