Question

已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行

已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

Answer 1

证明：设三个平面为α，β，γ，
且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c?α，b?α；
∴c与b交于一点，或互相平行．
（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．
由P∈c，且c?β，有P∈β；又由P∈b，b?γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．
图①

；       图②


（2）如图②，若c ∥ b，则由b?γ，且c?γ，∴c ∥ γ；又由c?β，
且β∩γ=a，∴c ∥ a；所以a，b，c互相平行．