Question

求证：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点

求证：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点

Answer 1

证明：设三个平面为α，β，γ，

且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c⊂α，b⊂α；

∴c与b交于一点，或互相平行．

（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．

由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；

所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．

图①；       图②

（2）如图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c∥γ；又由c⊂β，

且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．

Answer 2

＂两平面的交线＂代表＂这一条线同时属於两个平面＂．
＂两直线的交点＂代表＂这一颗点同时属於两条直线＂．

令：
［交线AB］代表平面A与平面B的交线．
［交线AC］代表平面A与平面C的交线．
［交线BC］代表平面B与平面C的交线．

＂这一颗点同时属於［交线AB］与［交线AC］＂
＝＞＂这一颗点同时属於［平面A与平面B］与［平面A与平面C］＂
＝＞＂这一颗点属於［平面B与平面C］＂
＝＞＂这一颗点属於［交线BC］＂

故第三条交线，也就是［交线BC］必经过这一点．
证毕．

Answer 3

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