Question

已知函数f(x)13ax3+bx2+x+3，其中a≠0．（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a＞0，且f

已知函数f(x)13ax3+bx2+x+3，其中a≠0．（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax²+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
此时方程ax²+2bx+1=0的根为
x₁=

?2b? 4b2?4a

2a

=

?b? b2?a

a

，x₂=

?2b+ 4b2?4a

2a

=

?b?+ b2?a

a

，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当a＞0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
当a＜0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b²＞a时，f（x）取得极值．
（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-

ax

2

-

1

2x

，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-(?

ax

2

?

1

2x

) max
设g（x）=-

ax

2

-

1

2x

，g′（x）=-

a

2

+

1

2x2

=

a(x2? 1 a )

2x2

，
令g′（x）=0得x=

1

a

或x=-

1

a

（舍去），
当a＞1时，0＜

1

a

＜1，当x∈（0，

1

a

]时g′（x）＞0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

单调增函数；
当x∈（

1

a

，1]时g′（x）＜0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

单调减函数，
所以当x=

1

a

时，g（x）取得最大，最大值为g（

1

a

）=-

a

．
所以b≥-

a

当0＜a≤1时，

1

a

≥1，
此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，
所以g（x）=-

ax

2

-

1

2x

在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-