Question

如图，已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，F 1 ，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF 1

如图，已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，F 1 ，F 2 分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF 1 F 2 的周长为4+2 ．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F 2 恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

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Answer 1

解：（1）∵椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，∴ ① ∵△BF 1 F 2 的周长为4+2 ，∴ ② 由①②可得 ， ∴ ∴椭圆的方程为 ； （2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F 2 恰为△BMN的垂心设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， ∵B（0，1），F 2 （ ，0）， ∴k MF2 =﹣ ，∴k MN = 设l的方程为y= ，代入 消元可得13x 2 +8 mx+4（m 2 ﹣1）=0 ∴x 1 +x 2 =﹣ ， ③ ∵ ， ， ∴ = =4x 1 x 2 + ④ ③代入④，可得4× ﹣ ∴（m﹣1）（5m+16）=0 ∴m=1，或m=﹣ 经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去 ∴存在直线l： 满足条件．