Question

已知数列{a n }满足：a 1 =1，a n+1 =2a n +2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n = n 3

已知数列{a n }满足：a 1 =1，a n+1 =2a n +2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n = n 3 （a n +2），求数列{b n }的前n项和S n ．

Answer 1

（Ⅰ）∵a n+1 =2a n +2，∴a n+1 +2=2（a n +2） 由此可得数列{a n +2}构成以a 1 +2=3为首项，公比q=2的等比数列 得a n +2=3?2 n-1 ，所以a n =3?2 n-1 -2，即为数列{a n }的通项公式； （II）∵b n = n 3 （a n +2）， ∴b n = n 3 ?（3?2 n-1 ），得b n =n?2 n-1 因此，S n =1×2 0 +2×2 1 +3×2 2 +…+n?2 n-1 ，--------① 两边都乘以2，得 2S n =1×2 1 +2×2 2 +3×2 3 +…+n?2 n ，--------② ①-②，得 -S n =1+2 1 +2 2 +…+2 n-1 -n?2 n =（1-n）2 n -1 ∴S n =（n-1）2 n +1．