Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 ＝4x相交于不同的A、B两点．（1）如果直线l过抛物线的焦点，求

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 ＝4x相交于不同的A、B两点．（1）如果直线l过抛物线的焦点，求 · 的值；（2）如果 · ＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

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Answer 1

（1） ；（2）过定点 。

试题分析：抛物线的焦点在 轴上，直线 过焦点且与抛物线相交，这条直线可能与 垂直，但不可能与 垂直，因此这种直线方程可设为 的形式，可避免讨论斜率存在不存在的问题。直线与抛物线相交于两点 ，我们一般设 ，则 ，而这里的 ， 可以让直线方程和抛物线方程联立方程组得出。（1）中直线 方程可设为 ，（2）中直线 方程可设为 ，（2）与（1）的区别在于最后令 ，求出 。 试题解析：（1）由题意：抛物线焦点为 ， 设 ，代入抛物线方程 中得， ， 设 ，则 ， ∴ 。 （2）设 ，代入抛物线方程 中得， ， 设 ，则 ， ∴ ， 令 ，∴ ， ， ∴直线 过定点 ，∴若 ，则直线 必过一定点。