Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上的一点，圆O过点A并与边BC相切于点D，与边AC相交于点E．（1）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB上的一点，圆O过点A并与边BC相切于点D，与边AC相交于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若圆O的半径为4，∠B=30°，求AC长．

Answer 1

（1）连接DF，OD，则∠ADF=90°，
因为BC是⊙O的切线，

所以∠CDA=∠DFA，△ACD≌△ADF，∠CAD=∠DAB．
即AD是∠CAB的角平分线．

（2）∵∠B=30°，
∴∠CAB=60°；由（1）可知AD是∠CAB的平分线，
故∠CAD=∠DAB=30°；在Rt△ADF中，∠DAB=30°，AF=2×4=8．
故AD=AF?cos30°=8×

3

2

=4

3

．
同理，AC=AD?cos30°=4

3

×

3

2

=6．故AD=4

3

．AC=6．