Question

如图，Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，（1）求证：∠A=∠

如图，Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，（1）求证：∠A=∠B．（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接OD、OE，
∵AC、BC分别为圆O的切线，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵O为AB的中点，
∴AO=BO，
在Rt△AOD和Rt△BOE中，

AO＝BO OD＝OE

，
∴Rt△AOD≌Rt△BOE（HL），
∴∠A=∠B；

（2）∵Rt△AOD≌Rt△BOE，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ADO与△BEO都为等腰直角三角形，
∴∠DOA=∠EOB=45°，
∵AO=BO=2，
根据勾股定理得：OD=

2

，
则S_阴=2（S_△AOD-S_扇形）=2×[

1

2

×（

2

）²-

45π×( 2 )2

360

]=2-

π

2

．