Question

已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．（Ⅰ） 当a＝12时，求函数f（x）在[12，3]上的最大值；（Ⅱ） 若

已知函数f（x）=ax2-3x+4+2lnx（a＞0）．（Ⅰ） 当a＝12时，求函数f（x）在[12，3]上的最大值；（Ⅱ） 若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a＝

1

2

时，f(x)＝

1

2

x2?3x+4+2lnx，
f′(x)＝

(x?1)(x?2)

x

，
即f（x）在区间[

1

2

，1)和（2，3]上单调递增；在区间[1，2]上单调递减．
∴f(1)＝

3

2

，f(3)＝2ln3?

1

2

，
所以函数f（x）在[

1

2

，3]上的最大值为f(3)＝2ln3?

1

2

．
（Ⅱ）f′(x)＝2ax?3+

2

x

＝

2ax2?3x+2

x

，
因为f（x）在其定义域上是单调递增函数，
所以当x∈（0，+∞）时f'（x）≥0恒成立，
得2ax²-3x+2≥0恒成立，
因为a＞0，x=

3

4a

＞0，
所以△=9-16a≤0，
所以实数a的取值范围为[

9

16

，+∞)．