已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x(1)当a=16时,求f(x)的极值与相应的x的值;(2)f(x)在(-1,1

已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x(1)当a=16时,求f(x)的极值与相应的x的值;(2)f(x)在(-1,1)上不是增函数,求a的取值范围.... 已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x(1)当a=16时,求f(x)的极值与相应的x的值;(2)f(x)在(-1,1)上不是增函数,求a的取值范围. 展开
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求导函数f′(x)=12ax3-4(3a+1)x+4
(1)当a=
1
6
时,f′(x)=2x3-6x+4=2(x-1)2(x+2)
令f′(x)=2(x-1)2(x+2)=0,∴x1=1,x2=-2
∵函数在(-∞,-2)上单调减,在(-2,1)上单调增,在(1,+∞)上单调增
∴函数的极值点是x=-2,f(x)的极值为-12;
(2)假设f(x)在(-1,1)上是增函数,则f′(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上恒成立
∴3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上恒成立
令g(x)=3ax2+3ax-1,则
a>0
g(-1)≤0
g(1)≤0
a<0
g(-
1
2
)≤0
或a=0
a>0
-1≤0
6a-1≤0
a<0
-
3a
4
-1≤0
或a=0
-
4
3
≤a≤
1
6

∴f(x)在(-1,1)上不是增函数,a的取值范围为(-∞,-
4
3
)∪(
1
6
,+∞)
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