Question

若函数f(x)=(2+sin^2x)/sin2x(0<x<π/2)的最小值为m,且x=3是函数g(x)=-1/8nx^2+x=ln(x+1)的极值点,设函数

h(x)={x^2+(m+n)x+2,x<=0, 2,x>0. 则关于x的方程h(x)=x解的个数

Answer 1

f(x)=(2+sin²x)/sin2x
f'(x)=[sin2x·sin2x-(2+sin²x)·2cos2x]/sin²2x
=(sin²2x-4cos2x-2sin²xcos2x)/sin²2x
=(1-5cos2x)/sin²2x
极值点cos2x=1/5,左侧递减，右侧递增，为最小值点。
f(x₀)=(2+0.4)/√1-0.2²=√6=m
g(x)=-1/8nx^2+x=ln(x+1)？按g(x)=-1/8·nx²+x计算
g'(x)=-1/4·nx+1
极值点x=3
n=4/3
∴h(x)=x²+(√6+4/3)x+2=x

即x²+(√6+1/3)x+2=0
Δ<0,
∴解的个数为0.