Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx,g(x)=ax²+4x,若h(x)=f(x)+g(x)在（0，+∞）上为减函数，则a的取值范围是（ ）

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

h(x)=f(x)+g(x)
h(x)=(a+1)lnx+ax²+4x
h'(x)=(a+1)/x+2ax+4=(2ax²+4x+a+1)/x
h(x)在（0，+∞）上为减函数
∴h'(x)=(2ax²+4x+a+1)/x<0在（0，+∞）上恒成立
x>0
即L(x)=2ax²+4x+a+1<0在（0，+∞）上恒成立
当a=0时,L(x)=4x+1>0，不成立
当a>0时，L(x)=2ax²+4x+a+1开口向上
x→+∞，L(x)→+∞，不成立
当a<0时
L(x)=2ax²+4x+a+1开口向下
对称轴为x=-4/(4a)=-1/a>0

∴L(x)最大值=2a*(-1/a)²-4/a+a+1=(4/a)+a+1<0
等价于a²+a+4>0恒成立
∴a<0