Question

某个数列的任何子数列都收敛于a，那么这个数列收敛于a，这句话对吗

Answer 1

正确的。

用极限的定义证明：

对任意ε＞0，存在K1∈N使得k＞K1时总有│x(2k-1)-a│＜ε；

对任意ε＞0，存在K2∈N使得k＞K2时总有│x(2k)-a│＜ε；

取N=max{2K1-,2K2}，于是对任意ε＞0，存在自然数N使得n＞N时总有│x(n)-a│＜ε。

于是Xn的极限是a。

(2k-1 和 2k 都是数列的下标，也就是这个数列的奇数列的极限是a，偶数列的极限是a。)

扩展资料：

数列收敛<=>数列存在唯一极限。

收敛数列与其子数列间的关系：

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{  }收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

参考资料：百度百科——收敛数列

Answer 2

证明如下:假设这个数列不收敛于a
那么必然存在ε0＞0，那么对于任意的n∈N+
总是存在n0，使得|a(n0)-a|＞ε0
而且我们可以构造一个下标是递增的子列{a(nk)}
对于任意的nk∈N+，|a(nk)-a|＞ε0
这是矛盾的