Question

|z－1|＜4|z+1|表示的为什么是多连通区域的

Answer 1

其等价于：
(z-1)²<16(z+1)²
也就是说：
15z²+34z+15>0
其几何含义是求一条开口向上的抛物线在y轴正半轴部分所对应的x区间。
该抛物线与x轴有两个交点，所以所求范围是两个相互分离的区间。

追问

忘记说明前提了，这是复变函数的题目，其中z不是简单的一个变量，是z=x+iy

追答

这个您仍然可以从几何意义上考虑。
首先看|z－1|=4|z+1|的图形是怎样的。
其是复平面上一个围绕（-1，0）点的封闭曲线（三角形正弦定理，边长比是1:4，那么对角正弦比就是4:1，您想象一下角度围绕（-1,0）点绕一圈的样子）。该曲线经过（-0.6,0）点，使得（1,0）点在曲线外。
那么换成不等关系，也就意味着集合是复平面上去除曲线内所围部分的其余内容，相当于掏了个洞，所以是多连通的。

追问

不好意思，无法理解你的说法，这是答案你看看（第一张图），我只是不明白为什么是多连通

追答

如果您能理解第一个图的话，那么绕着那个空白区域画一条封闭曲线，其内部就不完全是集合内的点。这满足多连通的定义。
答案中的算法相当于是把那个空白区域完全求解出来了，但如果只是判断连通类型的话不需要这么复杂。所以我之前跟您说的办法就只是帮助了解这个空白区域的存在而已，而并非求解它的具体范围。

追问

我问过老师了，谢谢解答