如图,AD是△ABC的中线,AE⊥AB,AF⊥AC,且AE=AB,AF=AC. 求证: (1)EF=2AD (2)EF⊥AD
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(1) 证明:延长AD,使DG=AD,连接CD
因为AD是三角形ABC的中线
所以D是BC的中点
所以BD=CD
因为角ADB=角GDC (对顶角相等)
所以三角形ADB全等三角形GDC (SAS)
所以AB=GC
角DAB=角DGC
所以AB平行CG
所以角BAC+角ACG=180度
因为AE垂直AB
所以角BAE=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=90度
因为角BAE+角BAC+角CAF+角EAF=360度
所以角BAC+角EAF=180度
所以角EAF=角ACG
因为AB=AE
所以AE=GC
因为AF=AC
所以三角形ACG全等三角形EAF (SAS)
所以EF=AG
因为AG=AD+DG
所以AG=2AD
所以EF=2AD
(2) 证明:延长DA交EF于H
所以三角形ACG全等三角形EAF(已证)
所以角AFE=角CAG
因为角CAG+角CAF+角CAH=180度(平角等于180度)
角CAF=90度(已证)
所以角CAG+角CAH=90度
所以角CAH+角AFE=90度
因为角CAH+角AFE+角AHF=180度
所以角AHF=90度
所以EF垂直AD
因为AD是三角形ABC的中线
所以D是BC的中点
所以BD=CD
因为角ADB=角GDC (对顶角相等)
所以三角形ADB全等三角形GDC (SAS)
所以AB=GC
角DAB=角DGC
所以AB平行CG
所以角BAC+角ACG=180度
因为AE垂直AB
所以角BAE=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=90度
因为角BAE+角BAC+角CAF+角EAF=360度
所以角BAC+角EAF=180度
所以角EAF=角ACG
因为AB=AE
所以AE=GC
因为AF=AC
所以三角形ACG全等三角形EAF (SAS)
所以EF=AG
因为AG=AD+DG
所以AG=2AD
所以EF=2AD
(2) 证明:延长DA交EF于H
所以三角形ACG全等三角形EAF(已证)
所以角AFE=角CAG
因为角CAG+角CAF+角CAH=180度(平角等于180度)
角CAF=90度(已证)
所以角CAG+角CAH=90度
所以角CAH+角AFE=90度
因为角CAH+角AFE+角AHF=180度
所以角AHF=90度
所以EF垂直AD
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