Question

如何用圆的一般方程解题圆的一般方程的解题思路，在线

Answer 1

概念形成与深化 请同学们写出圆的标准方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.
把圆的标准方程展开，并整理：
x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.
取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①
这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
（1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以 为圆心，
为半径的圆；
（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解 ，即只表示一个点 ；
（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.
圆的一般方程的特点：
（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.
②没有xy这样的二次项.
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.