Question

已知数列{an}满足a1=1/2，(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/an)=(3n+3)/n？

a1=1/2，(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/an)=(3n+3)/n，n>2，求数列 an 的通项公式。

Answer 1

(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/an)=(3n+3)/n——(1)
(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/a[n-1])=3n/n-1——(2)
（1）/（2）得，1+1/an=(n^2-1)/n^2 (n>=2,n为整数）
an=-n^2
当n=1时,an=-1^2不等于1/2
综上，an=-n^2 (n>=2,n为整数)
a1=1/2

Answer 2

当n>2
∵(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/an)=(3n+3)/n，①
∴(1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3)...(1+1/a（n-1)=(3（n-1）+3)/（n-1）②，
①÷②得：1-1/an=1-1/n².
∴an=-n²
∵a1=1/2,a2=-2,不适合上式，
∴所求为：an=
{1/2,(n=1),
{-2,(n=2)
{-n².(n>2)