Question

求数列{n!/n^n}的极限

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

不知道你知不知道Stirling公式：当n→+∞时，n!～√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)。这个可以是通过设bn=n!/[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)]，当n→+∞时，bn→√(2π)来证明的。可以参考《数学分析》。
所以，极限lim(n!/n^n)=lim[√(2π)n^(n+1/2)e^(-n)/n^n]=lim√(2πn)/e^n
这是∞/∞的形式，利用L'Hospital法则，对分子、分别分别求导，有
√(2πn)/e^n
→
√(2π)/[2√π*e^n]
而当n→+∞时，lim{√(2π)/[2√π*e^n]}=0
所以，lim(n!/n^n)=0

Answer 3

n!/n^n>0
n!/n^n≤[(1/n+2/n+...+n/n)/n]^n=(1+1/n)^n/2^n
上式用了均值不等式.
显然能用挤夹原理证明这个极限为0.
对n≥3时,n!/n^n<1/n是对的，没注意到这么简单。