Question

设f(x)=log以1/2为底1-ax/x-1为奇函数，a为常数

(1)求a的值
（2）证明f(x)在区间(1,正无穷）内单调递增
（3）若对于区间【3，4】上的每一个x的值,不等式f(x)>(1/2)^2+m恒成立,求实数m的取值范围
速求，要详细过程，谢谢了

Answer 1

1）设f(x)=log以1/2为底1-ax/x-1为奇函数
所以f(2)=f(-2)
得a=1

2）任取x1,x2属于(1,正无穷），且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(log以1/2为底1-x1/x1-1)-(log以1/2为底1-x2/x2-1)
=log以1/2为底[(1-x1/x1-1)/(1-x2/x2-1)]
=log以1/2为底[(x2-1-x1*x2+x1)/(x1-x1*x2-1+x2)]
=log以1/2为底{[x1(1-x2)+x2-1]/[x2(1-x1)+x1-1]}
=log以1/2为底{[(1-x2)*(x1-1)]/[(x2-1)*(1-x1)]}
因为x1,x2属于(1,正无穷），且x1<x2
所以f(x1)-f(x2）<0
所以f(x)在区间(1,正无穷）内单调递增

3）log以1/2为底（1-x/x-1）=log以2为底x-1/1-x
log以2为底x-1/1-x>(1/2)^2+m
log以2为底（x-1/1-x）-1/4>m
因为递增，所以在区间【3，4】最小值在x=3时取得
f（x）最小值=-1
所以m<-1