Question

已知数列{a n }中，a 1 =0， a n+1 = 1 2- a n ，n∈N * ．（1）求证： { 1 a

已知数列{a n }中，a 1 =0， a n+1 = 1 2- a n ，n∈N * ． （1）求证： { 1 a n -1 } 是等差数列；并求数列{a n }的通项公式； （2）假设对于任意的正整数m、n，都有|b n -b m |＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列 b n = a n ?(- 4 5 ) n ，n∈N * 是否为一个“ 2 3 域收敛数列”，请说明你的理由．

Answer 1

证：（1）因为
1
a
n+1
-1
=
1
1
2-
a
n
-1
=
2-
a
n
a
n
-1
=-1+
1
a
n
-1
，
所以
1
a
n+1
-1
-
1
a
n
-1
=-1
，n∈N
*
；
故
{
1
a
n
-1
}
是等差数列．
由此凯举可得，
1
a
n
-1
=
1
a
1
-1
+(n-1)×(-1)=-n
，
所以
a
n
=1-
1
n
=
n-1
n
，n∈N
*
．
（2）由条件
b
n
=
a
n
?(-
4
5
)
n
，
可知当n=2k，b
n
＞0；当n=2k-1时，b
n
≤0，k∈N
*
．
令
|
b
n
|=
a
n
?(
4
5
)
n
，则盯喊碧
|
b
n+1
|-|
b
n
|=
n
n+1
?(
4
5
)
n+1
-
n-1
n
?(
4
5
)
n
=
(
4
5
)
n
[
4
5
?
n
n+1
-
n-1
n
]=(
4
5
)
n
?
-
n
2
+5
5n(n+1)
．
∴当-n
2
+5＞0?n≤渗简2时，|b
n+1
|＞|b
n
|；
同理可得，当-n
2
+5＜0?n≥3时，|b
n+1
|＜|b
n
|；
即数列{|b
n
|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b
3
|是数列{|b
n
|}的最大项．
然而，因为{b
n
}的奇数项均为-|b
n
|，故
b
3
=-
2
3
?(
4
5
)
3
=-
128
375
为数列{b
n
}的最小项；
而
b
2
=
1
2
(
4
5
)
2
=
8
25
=0.32
，
b
4
=
3
4
?(
4
5
)
4
=
192
625
=0.3072
，
所以b
2
＞b
4
，故b
2
是数列{b
n
}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，
|
b
n
-
b
m
|≤|
b
2
-
b
3
|=|
8
25
+
128
375
|=
248
375
＜
2
3
，
∴数列
b
n
=
a
n
?(-
4
5
)
n
，n∈N
*
是一个“
2
3
域收敛数列”．