Question

已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1）（1）...

已知函数f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）（a＞0且a≠1） （1）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-12＜x＜12}，求a的值； （2）（文）设f（x）的反函数为f-1（x），若关于x的不等式f-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范围． （3）（理）设f（x）的反函数为f-1（x），若f-1(1)=13，解关于x的不等式f-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

解：（1）根据对数的运算法则，得
f（x）=loga（1+x）-loga（1-x）=log a1+x1-x（-1＜x＜1）
令t=1+x1-x，得t/=1-x+1+x(1-x) 2=2(1-x) 2＞0
故t在区间（-1，1）上是关于x的单调增函数，
不等式|f（x）|＜2的解集为(-12，12)，分两种情况加以讨论：
①当a＞1时，f(-12) =-2且f(12) =2
∴loga12-loga32=-2⇒loga13=-2⇒a=3
②当0＜a＜1时，f(-12) =2且f(12) =-2，类似①的方法可得a=33
综上所述，得实数a的值为3或33；
（2）∵f(x)=log a1+x1-x⇒x=-1+ay1+ay
∴f-1（x）=-1+ax1+ax=1-21+ax
∵1+ax＞1
∴1-21+ax∈(-1，1)
欲使关于x的不等式f-1（x）＜m（m∈R）有解，m必须大于f-1（x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范围是[-1，+∞）．
（3）由（2）得f-1(1)=-1+a1+a=13⇒a=2，
对于关于x的不等式f-1（x）＜m，由（2）知的f-1（x）的值域为（-1，1）
故分3种情形加以讨论：
①当m≥1时，有f-1（x）＜1≤m，所以f-1（x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②当-1＜m＜1，f-1（x）＜m⇒1-21+2x＜m⇒2x＜1+m1-m⇒x＜log21+m1-m
∴不等式的解集是x∈（-∞，log21+m1-m）
由（2）知不等式f-1（x）＜m的解集是空集．
综上所述：当m≤-1时原不等式的解集是空集，当-1＜m＜1时原不等式的解集是x∈（-∞，log21+m1-m）；当m≥1时，原不等式的解集是R．