Question

已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），a＞0且a≠1．

（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵x+1>0，且1-x>0
∴-1<x<1
即函数f(x)的定义域为(-1,1)
（2）∵f(-x)=loga(-x+1)-log(1+x)=-(loga(x+1)-log(1-x))=-f(x)
而定义域(-1,1)关于原点对称（这点很容易忽略）
∴函数f(x)为奇函数
（3）∵f(x)为奇函数
∴f(0)=0
而当a>1时，loga(x+1)单增，-loga(-x+1)单增
∴此时f(x)单增
而f(x)>f(0)
∴x>0
即此时x的取值范围为：{x|x>0}

不懂可追问，有帮助请采纳，谢谢！

Answer 2

解：（1）∵函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），∴x+1＞01-x＞0，求得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=loga（-x+1）-loga（1+x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．
（3）当a＞1时，函数f（x）loga（x+1）-loga（1-x）=loga1+x1-x 是增函数，由f（x）＞0，可得1+x1-x＞1，
即
x-2x-1＜0，即（x-2）（x-1）＜0，∴1＜x＜2．
当0＜a＜1时，函数f（x）loga（x+1）-loga（1-x）=loga1+x1-x 是减函数，由f（x）＞0，可得
0＜1+x1-x＜1，
即
1+x1-x＞01+x1-x＜1，即 -1＜x＜1x＜0或x＞1，求得-1＜x＜0．