Question

经过抛物线焦点的一直线交于抛物线a,b两点

高中数学圆锥曲线
过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：直线DB平行于抛物线的对称轴

Answer 1

思路:分两种情况分别证明.
1)假设抛物线焦点在x轴上,设抛物线方程为y方=2px,则焦点坐标F(p/2,0)抛物线的准线方程为x=-p/2,
因为要考虑直线斜率存在与否的情况.
当直线斜率不存在时,可以计算得出点B和点D的纵坐标都是相等的,可以证明直线BD是平行于x轴的,(即抛物线的对称轴)
当直线斜率存在时,设直线方程为y=k(x-p/2) ,A(x1,y1) B(x2,y2),
和抛物线方程联立可得:y1y2=-p方,所以y2=-p方/y1
直线AD的斜率为y1/y2,则可求出D点的坐标为（-p/2,-p方/y1）
可发现B点和D点的纵坐标相等,即直线BD平行于x轴
2）同理可证：当抛物线焦点在y轴上,直线BD的横坐标是相等的