Question

关于不等式的问题

这个问题的提出主要来源于小学时的一类题目
小学的时候经常做到累死于这样的题目
5/9<__/__<11/13
那时候老师教我们只要把前后的分母相加得新分母 分子相加得到新的分子
往中间填就对了
即5/9<16/22<11/13
经过验证 这个方法确实有效

于是我就试图去证明
若a/c<b/d （a,b,c,d∈Z+）
则必有
a/c<(a+b)/(c+d)<b/d

但是没成功

所以来这里麻烦大家帮我看看这个结论是否正确 如何证明...

另外 一样要问了 顺便问下闵可夫斯基不等式的证法 有什么比较实用的推论 在哪些场合会用到吧
闵可夫斯基不等式的问题算在加分里吧

Answer 1

a/c<(a+b)/(c+d)<b/d
这个不等式讲个例子可以明白
浓度为a/c和b/d的两种相同溶质的溶液
把他们混合后溶液的浓度当然在二者之间咯

关于闵可夫斯基不等式
可以用赫尔德(Holder)不等式证明,具体过程繁,这里不方便列出.
可以参考<奥林匹克小丛书·高中卷·平均值不等式和柯西不等式>
(赫尔德不等式是柯西不等式的推广)
需要我可一找到书给你发图片,不过可能要等两天才行

Answer 2

....我想，这个结论应该没错。
我是这样想的，用分析法。
已知a/c<b/d （a,b,c,d∈Z+），
要证a/c<(a+b)/(c+d)<b/d
即证（a/c）*（c+d)*c*d<(a+b)/(c+d)）*（c+d)*c*d<(b/d)）*（c+d)*c*d
只需证 a*（c+d)*d<(a+b)*c*d<b*（c+d)*c
只需证acd+add<acd+bcd<bcd+bcc
只需证add<bcd,acd<bcc
ad<bc
因为 a/c<b/d
即 ad<bc
所以结论成立。

不好意思，那个闵可夫斯基不等式我还没学过。。。 = =

Answer 3

若a/c<b/d （a,b,c,d∈Z+）
则有ad<bc,(1)
(1)式两边同加ac,ac+ad<ac+bc,a(c+d)<(a+b)c，化简得a/c<(a+b)/(c+d)
(1)式两边同加bd,bd+ad<bd+bc,(a+b)d<b(c+d),化简得(a+b)/(c+d)<b/d
综上,a/c<(a+b)/(c+d)<b/d

闵可夫斯基不等式也称为三角形不等式，它表明三角形两边之和大于第三边。

Answer 4

闵可夫斯基我不太懂，网上搜一搜，应该会很多。

我帮你证明第一个问题。
第一个问题隐含着一个条件：a/c和b/d同为正数或同负数，当两个分数一个为正，一个为负时是不成立的。
同为正数时：（a,b,c,d均为正数）
因为 a/c<b/d ，则 ad<bc,即ad-bc<0，bc-ad>0
(a+b)/(c+d)-a/c=（bc-ad)/[c(c+d)]>0
b/d-(a+b)/(c+d)=(bc-ad)/[d(c+d)]>0
即有：a/c<(a+b)/(c+d)<b/d

同为负数时，（负号提到分数前面，则a,b,c,d仍为正数）
因为：-(a/c)<-(b/d )，则：-ad<-bc；即ad-bc>0，bc-ad<0
-(a+b)/(c+d)-(-a/c)=(ad-bc)/[c(c+d)]>0
-b/d-[-(a+b)/(c+d)]=(ad-bc)/[d(c+d)]>0
即有-(a/c) < -[(a+b)/(c+d)] < -(b/d)

Answer 5

1．证明
由a/c<b/d得ad<bc,故ac+ad<ac+bc，a(c+d)<(a+b)c，a/c<(a+b)/(c+d)，
同理得bd+ad<bd+bc，(a+b)d<b(c+d)，(a+b)/(c+d)<b/d
即a/c<(a+b)/(c+d)<b/d
2.图片这里发不下，看
http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/3d397a3a656e69e714cecbe8.html