Question

矩阵初等变换的规则有哪些？

Answer 1

初等行变换规则

1、初等列变换

同样地，定义初等列变换，即：

（1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列

（2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数

（3）互换矩阵中两列的位置

2、初等变换

以下为行列式的初等变换：

（1）换行变换：交换两行（列）。

（2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

（3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

3、基于行列式的基本性质，对行列式作初等变换，有如下特征：

换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。

矩阵初等变换法则是：

1、位置变换：把矩阵第i行与第j行交换位置，记作：r(i)<-->r(j)。

2、倍法变换：把矩阵第i行的各元素同乘以一个不等于0的数k，记作：k*r(i)。

3、消法变换：把矩阵第j行各元素同乘以数k，加到第i行的对应元素上去，记作：r(i)+k*r(j)，这条需要特别注意，变的是第i行元素，第j行元素没有变。

初等矩阵性质

1、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2……Pn，使得A=P1P2......Pn。

3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ。