Question

数学求高阶导数问题

第一题
设f(x)=1/(x^2+5x+6) 求[f(x)](100) （即是求f(x)的100阶导数）

第二题
设f(x)=arctan x ，求f(x)的n阶导数

如果过程太繁杂 可以说一下方法 答案我知道

Answer 1

先要找规律。
f(x)=1/(x²+5x+6)
f'(x)=-1*(x²+5x+6)/(x²+5x+6)²
f''(x)=(-1)²*(x²+5x+6)*(x²+5x+6)²/(x²+5x+6)³
f'''(x)=(-1)³*(x²+6x+6)*(x²+5x+6)²*(x²+5x+6)³/(x²+5x+6)^4
f''''(x)=(-1)^4*(x²+6x+6)*(x²+5x+6)²*(x²+5x+6)³*(x²+5x+6)^4/(x²+5x+6)^5
f^(n)(x)=(-1)^n*(x²+6x+6)^[n(n+1)(2n+1)/6]/(x²+5x+6)^(n+1)
∴f'(100)=(-1)^100*(x²+6x+6)^[100(100+1)(2*100+1)/6](x²+5x+6)^(100+1)
=(x²+6x+6)^338350/(x²+5x+6)^101

f(x)=arctanx
f'(x)=1/(1+x²)
f''(x)=-1*(1+x²)/(1+x²)²
f'''(x)=(-1)²*(1+x²)*(1+x²)²/(1+x²)³
f''''(x)=(-1)³*(1+x²)*(1+x²)²*(1+x²)³/(1+x²)^4
f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*(1+x²)^[n(n+1)(2n+1)/6]/(1+x²)^n

记得分子的项不能拆开，逐个相乘才能看到规律的，分母也是。

Answer 2

1. f(x)=1/(x+2)- 1/(x+3)
分项求导

2 .dy/dx=1/（1+x^2）
思路 dy/dx=1/(x-i)-1/(x+i) 分项 求导同上
n阶倒 （-1）（-2）（-n+1）[1/（x-i）^(n-1)-1/(x+i)^(n-1)]
通分后 分母 为（x^2+1）^(n-1)
分子 合并同类项