Question

正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若角PCQ=45度，求三角形APQ的周长。

正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若角PCQ=45度，求三角形APQ的周长。

Answer 1

延长AB,作BE=DQ,连接CE，则三角形CDQ和三角形CBE全等；
角DCQ=角BCE,DQ=BE,CQ=CE，则角QCE=90度 ，
角PCQ=45度，则三角形QCP和三角形ECP全等
则PQ=PB+BE。
APQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+PE+AQ=AP+PB+BE+AQ=(AP+PB)+(QD+AQ)=1+1=2.

Answer 2

解：延长AB,作BE=DQ,连接CE
在⊿CDQ和⊿CBE中
CD=CE
∠D=∠B
DQ=BE
∴⊿CDQ≌⊿CBE(SAS)
∵∠ DCQ=∠BCE,DQ=BE,CQ=CE
∴∠QCE=90°
∴∠PCQ=45°
在⊿QCP和⊿ECP中
CP=CP(公共边)
∠QCP=∠ECP
CQ=CE
∴⊿QCP≌⊿ECP（SAS）
∴PQ=PB+BE
∴C⊿APQ=AP+PQ+AQ
=AP+PE+AQ
=AP+PB+BE+AQ
=(AP+PB)+(QD+AQ)
=1+1
=2

Answer 3

方法1
∵正方形ABCD的边长为1，∠PCQ=45°
连接AC，则∠DCQ＝∠ACP，∠QCA＝∠PCB
设∠DCQ＝∠ACP=α，则∠QCA＝∠PCB=45°-α
∴AQ=1-tanα，AP=1-tan(45°-α)=2tanα/(1+tanα)
PQ=根号[(1-tanα)^2+(2tanα/(1+tanα))^2]=(1+tan²α)/( 1+tanα)
AQ+AP+PQ=1-tanα+2tanα/(1+tanα)+(1+tan²α)/( 1+tanα)
=(1-tan²α+2tanα)/(1+tanα)+(1+tan²α)/( 1+tanα)=2
方法2
在AB延长线上取BF=DQ,连接CF，则⊿CDQ≌⊿CBF；
∠DCQ=∠BCF, DQ=BF, CQ=CF，则∠QCF=90°，
∠PCQ=45°，则⊿QCP≌⊿FCP,则PQ=PB+BF。
⊿APQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+PF+AQ=AP+PB+BF+AQ=(AP+PB)+(QD+AQ)=1+1=2.