Question

几道高中数学竞赛题（有关函数）

1.设a、b满足2a^2+6b^2=3，证明函数f(x)=ax+b在[－1，1]上满足
|f(x)|≤√2

2.关于x的实系数二次方程x^2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：
（1）如果|α|<2, |β|<2，那么2|a|<4+b,且|b|<4.
（2）如果2|α|<4+b, 且|b|<4，那么|α|<2, |β|<2.
★我想说一句,在第2题第1问中有人说由于(α+2)(β+2)>0得到
αβ+2(α+β)+4>0
又由韦达定理得b-2a+4>0
∴2a<b+4 但是由2a<b+4怎么能得到题目中的2|a|<4+b呢?

3.若a<0, 方程1/x+1/(x+a)+1/(x+a^2)=0有两个异号实根,求证:
正根必小于-2a/3,负根必大于 -2a^2/3

4 已知函数f(x)=ax+1-√(1+x^2)在[0,+∞)上是单调函数，求a的取值范围

能做一题是一题啦
说明 :第1题中|f(x)|指的是f(x)的绝对值
◆好了，第3题3楼已经有方法了，只不过不等号方向错了。多谢！大家想想别的题吧
第1题我还有问题，1楼答案的最后一步是怎么推出来的？
第4题能不能不用求导的方法？（这是高一的题目）

Answer 1

4 已知函数f(x)=ax+1-√(1+x^2)在[0,+∞)上是单调函数，求a的取值范围。

根据函数增减性的定义计算即可。

解：设0≤x1<x2，x2-x1>0，
f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)-(√(1+x2^2)-√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-[(1+x2^2)-(1+x1^2)]/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-(x2^2-x1^2)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=(x2-x1)*[a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))]

如果f(x)为增函数，则f(x2)-f(x1)<0，
所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))<0，
a<(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)
上式右边总是大于0的，但是可以无限趋近于0，所以a≤0。

如果f(x)为减函数，则f(x2)-f(x1)>0，
所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))>0，
a>(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)
上式右边总是小于1的，但是可以无限趋近于1，所以a≥1。

xiaofeier8 的解法中，f(x)的导数求错了，
f'(x)=a-x/sqrt(1+x^2)≠a-1/ 2√1+x^2。

1.设a、b满足2a^2+6b^2=3，证明函数f(x)=ax+b在[－1，1]上满足|f(x)|≤√2

解法一：f(x)是一次函数，其最值在端点处取得，故只需要证明|f(1)|≤√2，|f(-1)|≤√2即可，即
|b+a|≤√2，|b-a|≤√2，
可以用解法二的证法，也可以用不等式证明。
因为2*a^2+6*b^2=3，故a^2+b^2=3/2，
由算术平均≤平方平均，
对任意四个非负数x1、x2、x3、x4，有(x1+x2+x3+x4)/4≤sqrt((x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)/4) ，
令x1=x2=x3=|a|/3，x4=|b|，
得(|a|+|b|)/4≤sqrt((a^2/3+b^2)/4)=sqrt((a^2+3*b^2)/12)=sqrt((3/2)/12)=1/√8，
所以|a|+|b|≤4/√8=√2，
于是|b+a|≤|a|+|b|≤√2，
|b-a|≤|a|+|b|≤√2。
证毕。

2a^2+6b^2=3变形为：2/3*a^2+2*b^2=1，
即a^2/(3/2)+b^2/(1/2)=1，
设 a=√(3/2)*cos θ，b=√(1/2)*sin θ，
|f(x)|=|ax+b|=|x*√(3/2)*cos θ+√(1/2)*sin θ|
=sqrt(x^2*3/2+1/2)*|sin(θ+φ)|
（利用公式 A*cos α+B*sin α=sqrt(A^2+B^2)*sin(α+ψ)）
≤sqrt(x^2*3/2+1/2)
≤sqrt(1*3/2+1/2) （x^2≤1）
=√2。
证毕。

xiaofeier8 的解法中，把f(x)当成向量值函数f(x)=(ax, b)了，不知道是不是提问者之前输错了。

★我想说一句,在第2题第1问中有人说由于(α+2)(β+2)>0得到
αβ+2(α+β)+4>0
又由韦达定理得b-2a+4>0
∴2a<b+4 但是由2a<b+4怎么能得到题目中的2|a|<4+b呢?

关于这一问，稍加修改即可得到结果
|α|<2, |β|<2，故必有α<2, β<2，
所以(α-2)(β-2)>0，
αβ-2(α+β)+4>0，
由韦达定理，b+2a+4>0，
即-2a<b+4，
结合2a<b+4，
故2|a|<4+b。

反推回去可以得到第二个命题的证明。这样，四个问题都解决了。不过，你会又有一个问题，采纳谁的答案呢？

Answer 2

1.解：2/3a^2+2b^2=1(a^2在上面的)
令a=√3/2 siny
b=√1/2 cosy
则|f(x)max|=√(x√3/2)^2+(√1/2)^2=√3/2x+2/1<=√2(x依旧在上面)

4.求导：f'(x)=a-1/ 2√1+x^2
因为在[0,+∞)上，所以1/ 2√1+x^2范围（0，1/2]
单调减（-∞，0]
单调增（1/2，+∞）

Answer 3

丹麦金砖面包

原料：

高筋面粉200克、低筋面粉100克、水200克、酵母粉4克、盐6克、糖40克、

奶粉25克、蛋40克、黄油20克、酥油（麦其林）150克、奶油奶酪150克

甜品做法：

1、将A料里所有干质材料混合均匀，再加入温牛奶，揉到面团光滑不是太粘手，就加入室温软

化好的黄油继续揉。揉四十分钟以上，此时面团很光滑柔软，捏起不易断，揪下一小块，

用手慢慢拉开，出现象口香糖一样的薄膜就可以了。室温发酵30分钟后，放冰箱冷冻30分

钟。

2、取出冷冻的面团，擀成长方形厚约1.5cm，将酥油擀成与面团厚度相同面积为面团1/3的

薄片，放在面团中间，面团两头都往中间交叠盖住酥油片，并将接缝处捏密实。放冰箱冷

冻半小时。

3、取出面团，擀成厚约1.5cm的长方形，再将面团左右3折一次，接着再擀三折二次，放冰箱

冷冻约30分钟。30分钟后取出，再擀成与之前相同的长方形，左右3折每三次，再冷冻30

分钟。

4、利用面团冷冻时间，将奶油奶酷室温软化。将冷冻好的面团取出，切出1/2的量（另外1/2

另行制作成葡萄肉桂面包，此处略）。擀成厚约1cm的面片，奶油奶酪包上保鲜膜擀成面积

约为面片1/3大小，将面片左右两头往中间互叠包住奶油奶酪，接疑处捏密实。 再擀成长

约30cm，宽约15cm，厚约1.5cm的长方形，顶头相连分成三条，编成麻花辫，放进吐司模，

多出部分往里挝着压在辫子下面即可。

5、将土司模包上保鲜膜，放在室温约25度左右阳光充足的窗台上，发酵1个半小时左右，看面

团膨胀至土司模的九分满即可，刷上蛋液。烤箱提前180度预热后，将土司膜放在中下

层，烤30分钟后，立即取出脱模即可。

Answer 4

3，解方程得x=[-a^2-a±a√(a^-a+1)]/3,
[-a^2-a-a√(a^-a+1)]/3>-a[√(a^2-2a+1)+a+1]/3=-a(1-a+a+1)/3=-2a/3>0,
[-a^2-a±a√(a^2-a+1)]/3<-a[a+1-(1-a)]
=-2a^2/3<0

Answer 5

4
已知函数f(x)=ax+1-√(1+x^2)在[0,+∞)上是单调函数，求a的取值范围。
根据函数增减性的定义计算即可。
解:设0≤x1<x2，x2-x1>0，
f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)-(√(1+x2^2)-√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-[(1+x2^2)-(1+x1^2)]/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=a(x2-x1)-(x2^2-x1^2)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))
=(x2-x1)*[a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))]
如果f(x)为增函数，则f(x2)-f(x1)<0，
所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))<0，
a<(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)
上式右边总是大于0的，但是可以无限趋近于0，所以a≤0。
如果f(x)为减函数，则f(x2)-f(x1)>0，
所以a-(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))>0，
a>(x2+x1)/(√(1+x2^2)+√(1+x1^2))，∀x∈[0,+∞)
上式右边总是小于1的，但是可以无限趋近于1，所以a≥1。
xiaofeier8
的解法中，f(x)的导数求错了，
f'(x)=a-x/sqrt(1+x^2)≠a-1/
2√1+x^2。
1.设a、b满足2a^2+6b^2=3，证明函数f(x)=ax+b在[-1，1]上满足|f(x)|≤√2
解法一:f(x)是一次函数，其最值在端点处取得，故只需要证明|f(1)|≤√2，|f(-1)|≤√2即可，即
|b+a|≤√2，|b-a|≤√2，
可以用解法二的证法，也可以用不等式证明。
因为2*a^2+6*b^2=3，故a^2+b^2=3/2，
由算术平均≤平方平均，
对任意四个非负数x1、x2、x3、x4，有(x1+x2+x3+x4)/4≤sqrt((x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)/4)
，
令x1=x2=x3=|a|/3，x4=|b|，
得(|a|+|b|)/4≤sqrt((a^2/3+b^2)/4)=sqrt((a^2+3*b^2)/12)=sqrt((3/2)/12)=1/√8，
所以|a|+|b|≤4/√8=√2，
于是|b+a|≤|a|+|b|≤√2，
|b-a|≤|a|+|b|≤√2。
证毕。
2a^2+6b^2=3变形为:2/3*a^2+2*b^2=1，
即a^2/(3/2)+b^2/(1/2)=1，
设
a=√(3/2)*cos
θ，b=√(1/2)*sin
θ，
|f(x)|=|ax+b|=|x*√(3/2)*cos
θ+√(1/2)*sin
θ|
=sqrt(x^2*3/2+1/2)*|sin(θ+φ)|
(利用公式
A*cos
α+B*sin
α=sqrt(A^2+B^2)*sin(α+ψ))
≤sqrt(x^2*3/2+1/2)
≤sqrt(1*3/2+1/2)
(x^2≤1)
=√2。
证毕。
xiaofeier8
的解法中，把f(x)当成向量值函数f(x)=(ax,
b)了，不知道是不是提问者之前输错了。
★我想说一句,在第2题第1问中有人说由于(α+2)(β+2)>0得到
αβ+2(α+β)+4>0
又由韦达定理得b-2a+4>0
∴2a<b+4
但是由2a<b+4怎么能得到题目中的2|a|<4+b呢?
关于这一问，稍加修改即可得到结果
|α|<2,
|β|<2，故必有α<2,
β<2，
所以(α-2)(β-2)>0，
αβ-2(α+β)+4>0，
由韦达定理，b+2a+4>0，
即-2a<b+4，
结合2a<b+4，
故2|a|<4+b。
反推回去可以得到第二个命题的证明。这样，四个问题都解决了。不过，你会又有一个问题，采纳谁的答案呢?