Question

若f（x）=-x^2+ax-lnx(a属于R)在[1/2,2]上是单调函数，则实数a的取值范围是什么

同上
答案是（负无穷大，2梗号二）U（9/2,正无穷大） 求详细过程

Answer 1

f'(x)=-2x+a-1/x=-(2x²-ax+1)/x
在[1/2,2]为单调函数，则f'(x)=0在此区间无根
即2x²-ax+1=0,在此区间无根
a=2x+1/x=g(x)
由均值不等式，2x+1/x>=2√(2x*1/x)=2√2, 当2x=1/x,即x=√2/2时取等号
在端点处，g(1/2)=3; g(2)=4.5, 即在此区间，g(x)的值域为[√2/2,4.5]
因此a的取值范围是: a>=4.5或a<=√2/2

追问

由均值不等式，2x+1/x>=2√(2x*1/x)=2√2, 没看懂

追答

或者你求g(x)=2x+1/x的最小值
由g'(x)=2-1/x²=0得极小值点x=√2/2

也同样得出g(x)的值域同上。

追问

2x上面是不是漏了个平方

追答

没有，因为a=(2x²+1)/x=2x+1/x, 这里是两项。

追问

哦 懂了 再问一下 2x²-ax+1=0,在此区间无根 能不能直接用b^2-4ac<=0出a<√2/2

追答

不能，因为你那样只能得到方程在R上都无根，而不只是在此区间无根。