Question

高等数学，数学，常微分方程，请问这个方程怎么解？

Answer 1

∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0，则r=±i (i是虚数)
∴此齐次方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx (C1,c2是积分常数)
令原方程的解为y=(Ax+B)cos(2x)+(Cx+D)sin(2x)
∵y‘=(2Cx+A+2D)cos(2x)+(-2Ax-2B+C)sin(2x)
y''=(-4Ax-4B+4C)cos(2x)+(-4Cx-4A-D)sin(2x)
代入原方程，求得A=-1/3，B=C=0，D=4/9
∴原方程的一个解是y=(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x)
故原方程的通解是y=C1*cosx+C2*sinx+(4/9)sin(2x)-(x/3)cos(2x) (C1,c2是积分常数)。