Question

已知函数y=a 1-x （a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线 x m + y n =1 （m＞0

已知函数y=a 1-x （a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线 x m + y n =1 （m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为______．

Answer 1

∵函数y=a 1-x （a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线 x m + y n =1 （m＞0，n＞0）上， ∴ 1 m + 1 n =1 ，∴m+n=（ m+n）（ 1 m + 1 n ）=2+ n m + m n ． ∵m＞0，n＞0，由基本不等式可得 n m + m n ≥2，当且仅当 n m = m n 时，等号成立． 再由 1 m + 1 n =1 可得，当且仅当 m=n=2时，等号成立． 故 m+n=2+ n m + m n ≥4，当且仅当 m=n=2时，等号成立． 故m+n的最小值为4， 故答案为 4．