如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E
如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F．（1）求证：∠ADB=...
如图，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F．（1）求证：∠ADB=3∠B；（2）设⊙C的半径为x，EF的长为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；（3）点C在线段AB上移动的过程中，⊙C能否与AE相切？如果能够，请求出这时⊙C的半径；如果不能，请说明理由．
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（1）∵点B、D在⊙C上，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠B．（1分）
∴∠ACD=2∠B．（1分）
∵点C、D在⊙A上，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2∠B．（1分）
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，
∴∠ADB=3∠B．（1分）
（2）∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE．
∴∠FED=∠ADB=3∠B．（1分）
∵∠FAC=∠FED-∠B，
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．（1分）
∴△AFC∽△ACD，
∴
=
． （1分）
∵BC=CD=x，
∴AE=AC=1-x，AF=
=
，（1分）
∴y＝
?(1?x)＝
．（1分）
定义域为0＜x＜
．（1分）
（3）如图，⊙C能与AE相切，设切点为G
，
连接CG，则∠AGC=90°．
在Rt△ACG中，AG＝
＝
＝
．
cos∠GAC＝
＝
．（1分）
过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，
∵△ACD∽△FAC，AC=AD，
∴AF=CF，
∴AH=
AC，
cos∠FAH=
＝
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠B．（1分）
∴∠ACD=2∠B．（1分）
∵点C、D在⊙A上，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=2∠B．（1分）
∵∠ADB=∠CDB+∠ADC，
∴∠ADB=3∠B．（1分）
（2）∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE．
∴∠FED=∠ADB=3∠B．（1分）
∵∠FAC=∠FED-∠B，
∴∠FAC=2∠B=∠ADC=∠FCA．（1分）
∴△AFC∽△ACD，
∴
| AF |
| AC |
| AC |
| CD |
∵BC=CD=x，
∴AE=AC=1-x，AF=
| AC 2 |
| CD |
| (1?x) 2 |
| x |
∴y＝
| (1?x)2 |
| x |
| 2x2?3x+1 |
| x |
定义域为0＜x＜
| 1 |
| 2 |
（3）如图，⊙C能与AE相切，设切点为G
，连接CG，则∠AGC=90°．
在Rt△ACG中，AG＝
| AC2?CG2 |
| (1?x)2?x2 |
| 1?2x |
cos∠GAC＝
| AG |
| AC |
| ||
| 1?x |
过点F作FH⊥AC，垂足为H．在Rt△FAH中，
∵△ACD∽△FAC，AC=AD，
∴AF=CF，
∴AH=
| 1 |
| 2 |
cos∠FAH=
| AH |
| AF |
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