Question

已知函数h（x）与函数f1（x），f2（x）的定义域均相同．如果存在实数m，n使得h（x）=m?f1（x）+n?f2（x）

已知函数h（x）与函数f1（x），f2（x）的定义域均相同．如果存在实数m，n使得h（x）=m?f1（x）+n?f2（x），那么称h（x）为函数f1（x），f2（x）的生成函数，其中m，n称为生成系数．（1）h（x）是f（x）=x2+x，g（x）=x+2在R上生成的二次函数，若h（x）为偶函数，求h（2）；（2）已知h（x）是f1（x）=x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0）的生成函数，两个生成系数均为正数，且函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）；i）求h（x）的解析式ii）已知正实数x1，x2满足x1+x2=1，．问是否存在最大的常数m，使不等式h（x1）h（x2）≥m对满足条件的任意x1，x2恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设h（x）=mf（x）+ng（x），则h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n（m≠0），
因为h（x）为一个二次函数，且为偶函数，
所以二次函数h（x）的对称轴为y轴，即x＝?

m+n

2m

＝0，所以n=-m，则h（x）=mx²-2m，则h(

2

)＝0
（2）i）由题意，设两个生成系数为正数a，b．则h(x)＝ax+

b

x

  (x＞0)，
由基本不等式得h(x)＝ax+

b

x

≥2

ab

，于是h（x）当x＝

b a

时取得最小值2

ab

．
由题意得：

b a ＝2 2 ab ＝8

，解得

a＝2 b＝8

，所以h(x)＝2x+

8

x

  (x＞0)．
ii）假设存在最大的常数m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
设u＝h(x1)h(x2)＝4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)＝4x1x2+

64

x1x2

+16(

x1

x2

+

x2

x1

)
=4x1x2+

64

x1x2

+16?

x 2 1 + x 2 2

x1x2

＝4x1x2+

64

x1x2

+16?

(x1+x2)2?2x1x2

x1x2

＝4x1x2+

80

x1x2

?32．
令t=x₁x₂，则t＝x1x2≤(

x1+x2

2

)2＝

1

4

，即t∈(0，

1

4

]，同时u＝4t+

80

t

?32，t∈(0，

1

4

]．
而u＝4t+

80

t

?32在t∈(0，

1

4

]上单调递减，u≥u(

1

4

)＝289，
故存在最大的常数m=289