Question

（1）分析证明函数f（x）=lg1?x1+x的奇偶性；（2）写出f（x）=-x2+2x的减函数区间，并证明y=f（x）在它上

（1）分析证明函数f（x）=lg1?x1+x的奇偶性；（2）写出f（x）=-x2+2x的减函数区间，并证明y=f（x）在它上是减函数．

Answer 1

（1）要使函数f（x）有意义，由

1?x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
f（-x）=lg

1+x

1?x

=lg（

1?x

1+x

）^-1=-lg

1?x

1+x

=-f（x），
则f（x）是奇函数．
（2）f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，则函数的减函数区间为[1，+∞），
证明：设任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+2x₁-（-x₂²+2x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+2），
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[1，+∞）上是单调减函数．