Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移π4个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g(α)＝23+1，α为第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意得：g（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
由A（0，-1），得

2

sin（2α-

π

4

）+1=

2

3

+1，
∴sin（2α-

π

4

）=

1

3

，
又α为第一象限角，
∴2α-

π

4

∈（4kπ-

π

4

，4kπ+

3π

4

），k∈Z，
又0＜sin（2α-

π

4

）＜

1

3

＜

2

2

知，
∴2α-

π

4

∈（4kπ，4kπ+

π

2

），k∈Z，
∴cos（2α-

π

4

）=

2 2

3

，
∴sin2α=sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]=

2

2

（

1

3

+

2 2

3

）=

2 +4

6

．