Question

复合函数的单调性问题

已知f（x）=11+2x-x²,若g(x)=f(2-x²)
试确定g(x)的单调区间
答案：令u=2-x²则g(x)=f(u)=11+2u-u²
当x∈(-∝,-1)时（为什么区间是（-∝，-1）？），u=2-x²是增函数且此时u∈（-∝，1）f(u)为增函数故。。。。。
当x∈(-1,0]时，u=2-x²是增函数且此时u∈（1，2]（如何得出的？），f(u)为减函数故。。。。。
当x∈(0,1]时，u=。。。为减函数且此时。。。。故。。。。
当x∈（1.+∞）时u=。。为减函数，且此时u∈（-∞，1）（如何得出？）f（u）为增函数，故。。。。
综上。。。。
如何得出区间（-∞，-1）？

Answer 1

g（x）＝11+2x²-x^4.

g′（x）＝4x（1-x）（1+x）.

如图，x∈（-∞，-1），（0,1）：g′＜0.  g（x）单调减少。

x∈（-1,0），（1，+∞）：g′＞0.  g（x）单调增加。

Answer 2

复合函数的单调性问题的总思路应该是逆向的，由内向外的，虽然是这么写，但不用这么想。
应先想f(u)=11+2u-u²的增减区间，显然应该是以1为界的两部分，且是左边增右边减。
然后再是同增异减原则，看u=2-x²的区间。当u∈（-∞，1）代入端点得x∈（1.+∞）和x∈(-∝,-1)，因为在此区间上u均是单调的，所以……
当u∈（1额……正无穷）（囧，没找着怎么打），在这里u不是单调的，就再求u的单调区间，以0为界左加右减，……然后就是同增异减原则的事情了。
……到此分析结束！
不要忘了最后一步，把它翻过来写就是结论了。