Question

复合函数的单调性

1.求y=x^4-2x^2+3的单调区间

2.求y=(x^2+2x)^2的单调区间

说一下我不理解的地方：
如果是y=lg(x^2+2x) 这个好办，先说“这个可以看成是X与X的复合” 再说“u=x^2+2x 在XX上单增,在XX上单减” 再来一句 “又因为 y=lg(u) 在定义域上单调递增 ” 然后用同增异减就搞定了

但是像这种，内层函数两个or两个以上单调区间， 外层也是两个or两个以上单调区间的，绕死了绕死了！
不用导数

Answer 1

对于复合函数的单调性问题
1，先求出外层函数的所有拐点，再求出内层函数的所有拐点；
2，内、外层函数的所有拐点把数轴分成多个区间，用“同赠异减”的规律，在每个区间中讨论复合函数的单调性。
——
解1，
y=x^4-2x^2+3=(x-1)^2+2，令t=x-1，则y=t^2+2
1，讨论y=t^2+2
a=1＞0，函数开口向上；对称轴（拐点）x=-b/(2a)=0
2，讨论t=x-1，
k＞0，函数单调递增
综合1和2：
当：x＜0时，y=t^2+2单调递减，t=x-1单调递增
所以：y=x^4-2x^2+3单调递减，
当：x ≥ 0时，y=t^2+2单调递增，t=x-1单调递增
所以：y=x^4-2x^2+3单调递增。
解2，（略）
y=(x^2+2x)^2，令t=x^2+2x，则y=t^2
1，y=t^2：对称轴（拐点）为x=0，开口向上
2，t=x^2+2x：对称轴（拐点）为x==-b/(2a)=-1，开口向上
讨论：
1，x＜-1时，t=x^2+2x单调递减，y=t^2单调递减，所以y=(x^2+2x)^2单调递增；
2，-1≤ x＜0时，t=x^2+2x单调递增，y=t^2单调递减，所以y=(x^2+2x)^2单调递减；
3，0 ≤ x时，t=x^2+2x单调递增，y=t^2单调递增，所以y=(x^2+2x)^2单调递增。

Answer 2

学了导数没？学过的话就简单多 了
y'=4x^3-4x，所以y'>=0时，x>=1或-1<=x<=0，此时函数递增。

x<=-1或0<=x<=1时，函数递减
y'=4x^3+12x^2+8x，所以x<=-2或-1<=x<=0时，函数递减；-2<=x<=-1或x>0时，函数递增
或者可以这样，第一题中，函数化为y=(x^2-1)^2+2。
设x^2-1=z，x>=0时，z递增；x>=1或x<=-1时，z>=0，y递增，所以x>=1时，y递增。其它情况同理。

Answer 3

我用求导行么。。第一题 1到正无穷和（-1，0）是单增区间第二题0到正无穷和（-2，-1）是单增
（可能不对。。不过高次的我比较喜欢用求导。。有log的直接判断）