Question

复合函数单调性问题！！急！！

设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时y=f(x)>1，且对于任意实数a,b属于R，有f(a+b)=f(a)·f(b)，判断 f(x)在R上的单调性。

Answer 1

设x1<x2
则f(x2)=f(x2-x1)·f(x1)
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)

因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)>1
所以f(x2)/f(x1)>1

若a,b>0
因为f(a)/f(b)=f(a-b)>0
a-b可以取任意实数，所以f(x)>0

所以f(x1)>0
所以f(x2)>f(x1)
即函数为增函数

Answer 2

f(x)在x>0时是单调递增的，而且是严格单调递增。

证明：

首先我们必须承认这样一个结论：
若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数，等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b，有f(x1) <= f(x2)；"，也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0，对于任意的a <= x1 < x2 <= b，总有f(x2)/f(x1) >= 1；"。

开始证明
对任意的0 < x1 < x2，有f(x1) > 1 > 0，f(x2) > 1 > 0
且f(x2) / f(x1) = f((x2 - x1) + x1) / f(x1)
= [ f(x2 - x1) * f(x1) ]/f(x1) = f(x2 - x1)
显然，x2 - x1 > 0，所以f(x2 - x1) > 1，
即f(x2) / f(x1) > 0，
根据上述的等价性，f(x)在x>0时是单调递增的

证毕

Answer 3

若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数，等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b，有f(x1) <= f(x2)；"，也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0，对于任意的a <= x1 < x2 <= b，总有f(x2)/f(x1) >= 1；"。任意的0 < x1 < x2，有f(x1) > 1 > 0，f(x2) > 1 > 0
且f(x2) / f(x1) = f((x2 - x1) + x1) / f(x1)
= [ f(x2 - x1) * f(x1) ]/f(x1) = f(x2 - x1)
显然，x2 - x1 > 0，所以f(x2 - x1) > 1，
即f(x2) / f(x1) > 0，
根据上述的等价性，f(x)在x>0时是单调递增的