Question

己知：二次函数y=ax 2 +bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次

己知：二次函数y=ax 2 +bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x 2 -4x-12=0的两个根．（1）请直接写出点A、点B的坐标．（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD ∥ AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

Answer 1

（1）A（-2，0），B（6，0）； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax 2 +bx+6，得 4a-2b+6=0 36a+6b+6=0 ， 解得 a=- 1 2 b=2 ， ∴y=- 1 2 x 2 +2x+6， ∵y=- 1 2 （x-2） 2 +8， ∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）； （3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP， ∵C（0，6）， ∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则 -2a+b=0 4a+b=6 ， 解得 a=1 b=2 ， ∴y=x+2，当x=2时，y=4， 即P（2，4）； （4）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S △ABC = 1 2 AB×OC=24， ∵由DQ ∥ AC，∴△BDQ ∽ △BCA， ∴ S △BDQ S △BCA =（ BQ BA ） 2 =（ 6-m 8 ） 2 ， 即S △BDQ = 3 8 （m-6） 2 ， 又S △ACQ = 1 2 AQ×OC=3m+6， ∴S=S △ABC -S △BDQ -S △ACQ =24- 3 8 （m-6） 2 -（3m+6）=- 3 8 m 2 + 3 2 m+ 9 2 =- 3 8 （m-2） 2 +6， ∴当m=2时，S最大．