如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEF
如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF...
如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；（Ⅱ）当2VB-ADGE=VD-GBCF时，求二面角D-BG-C平面角的余弦值．
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（Ⅰ）证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．…（2分）
翻折前，连结AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．
EG=
BC=2，又∵EA=EB=2．
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），G（0，2，0），
∴
=（-2，2，2），
=（-2，-2，0）
∴
?
=（-2，2，2）（-2，-2，0）=0，
∴BD⊥CG．…（5分）
（Ⅱ）解法一：设EG=k，∵AD∥平面EFCB，
∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．
∵S四形GBCF=
[（3-k）+4]×2=7-k，
∴VD-GBCF=
?S四形GBCF?AE=
(7-k)，
又VB-ADGE=
S四形ADGE?BE=
(2+k)，
∵2VB-ADGE=VD-GBCF，∴
(2+k)=
(7-k)，
∴k=1即EG=1…（8分）
设平面DBG的法向量为
=(x，y，z)，∵G（0，1，0），
∴
=(-2，1，0)，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．…（2分）
翻折前，连结AC交EF于点G，此时点G使得AG+GC最小．
EG=
| 1 |
| 2 |
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），G（0，2，0），
∴
| BD |
| CG |
∴
| BD |
| CG |
∴BD⊥CG．…（5分）
（Ⅱ）解法一：设EG=k，∵AD∥平面EFCB，
∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离．
∵S四形GBCF=
| 1 |
| 2 |
∴VD-GBCF=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又VB-ADGE=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵2VB-ADGE=VD-GBCF，∴
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴k=1即EG=1…（8分）
设平面DBG的法向量为
| n1 |
∴
| BG |
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