Question

问一道高一数学题，这道题我做不出来。已知函数f（X）= (b<0)的值域为[1,3] 求实数b，c的值。

f（X）=如下图。问题就出在这里了，为什么由t属于[1,3]
1，3是方程4t^2-4(c+2)t+8c-b^2=0的根，往下面我就不懂了。

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Answer 1

由t属于[1,3]上面的那条不等式     4t²-4(c+2)t+8c-b²≤0 

这条不等式的图像是一个开口向上的抛物线   并且t∈[1,3]， 这点清楚吧？

原因来了：  1.图像开口向上

                    2.t∈[1,3]

                    3.不等式要求≤0

所以 1.3是4t²-4(c+2)t+8c-b²＝0的根

哪里不明白再问我

追问

我的意思是这条不等式的图像是一个开口向上的抛物线 并且t∈[1,3]， 万一[1,3]以外还有4t²-4(c+2)t+8c-b²≤0 呢？我意思是小于1或者大于3的话，还有这个不等式小于零呢？为什么恰巧1,3时等于零？

追答

首先，‘上面那个图片的图像是 4t²-4(c+2)t+8c-b² 的图像
它是一个开口向上的抛物线，自变量横轴是t，因变量纵轴是 4t²-4(c+2)t+8c-b² 的值
4t²-4(c+2)t+8c-b²在t等于1和3时经过了0点之后就不会再和横坐标有交点了！！两边向上延伸的

图像跟横坐标的交点就是当4t²-4(c+2)t+8c-b²=0时的t值 在横坐标以下即4t²-4(c+2)t+8c-b²＜0，
横坐标以上就是4t²-4(c+2)t+8c-b²＞0

追问

不是这个意思，我的意思是这道题是已知函数f（X）= (b<0)的值域为[1,3] ，这句话，我总感觉是人为规定的这个函数的值域为[1,3] ，而不是这个函数它本身的值域，所以我无法确定1或者3是这个不等式两个根，你说对吧？你明白我的意思了吗？

追答

f(x)的定义域是 一个范围 导致 值域是[1,3]。

或者你将t理解为 4t²-4(c+2)t+8c-b² 这条式的自变量，并且 4t²-4(c+2)t+8c-b²≤0的范围是 t∈[1,3]。所以1,3肯定会使得4t²-4(c+2)t+8c-b²=0
这样说能理解吗？