Question

【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=______；若∠A=n°，则∠B

【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=______；若∠A=n°，则∠BEC=______．【探究】：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=______；（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=______；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC=______．

Answer 1

问题：如图1，：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A；
若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC=90°+

1

2

n°．
探究：（1）如图2，
∵线段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC=

2

3

∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵线段CP、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB=

2

3

∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-∠A）
∴∠BEC=180°-

2

3

（180°-∠A）=60°+∠A，
若∠A=n°，则∠BEC=60°+

2

3

n°；
（2）如图3，
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ACE=

1

2

∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A；
若∠A=n°，则∠BEC=

1

2

n°；
（3）如图4，
∠EBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠ECB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
∠BEC=90°-

1

2

∠A．
若∠A=n°，则∠BEC=