Question

对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知二次函数f（x）=ax2+bx

对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），满足f(0)≥1f(1+sinα)≤1(α∈R)，且f（x）有两个不动点x1，x2，记函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：如果x1＜2＜x2＜4，那么x0＞-1．

Answer 1

证明：二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），满足

f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，
∴

f(0)≥1 f(0)≤1

，即f（0）=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．
即

4a+2b?1＜0 16a+4b?3＞0

，

由可行域可得

b

a

＜2，
∴x₀=-

b

2a

＞-1．