Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2=e，则该

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2=e，则该离心率e的取值范围是______．

Answer 1

依题意，得

PF1

PF2

+1=

PF2+PF1

PF2

=

2a

PF2

=e+1，
∴PF₂=

2a

e+1

，又a-c≤PF₂≤a+c，
∴a-c≤

2a

e+1

≤a+c，不等号两端同除以a得，
1-e≤

2

e+1

≤1+e，
∴

1-e2≤2 1+e≥ 2

，解得e≥

2

-1，
又0＜e＜1，
∴

2

-1≤e＜1．
故答案为：[

2

-1，1）