Question

已知关于x的方程x2-2tx-1=0的两不等实根为x1，x2（x1＜x2），函数f（x）=x?tx2+1的定义域为[x1，x2]．（1

已知关于x的方程x2-2tx-1=0的两不等实根为x1，x2（x1＜x2），函数f（x）=x?tx2+1的定义域为[x1，x2]．（1）求f（x1）?f（x2）的值；（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（x）的最小值，记函数g（t）=maxf（x）-minf（x），求函数h（t）=g（log2t）?g（log12）在t∈（1，2]的值域．

Answer 1

解答：解（1）由韦达定理得：x₁x₂=-1，x₁+x₂=2t，
则f（x₁）f（x₂）=

x1?t

x12+1

?

x2?t

x22+1

=

x1x2?t(x1+x2)+t2

x12x22+(x1+x2)2?2x1x2+1

＝?

1

4

．
（2）f′(x)＝

x2+2tx+1

(x2+1)2

，由于x₁，x₂为方程x²-2tx-1=0的两实根，
故当x∈[x₁，x₂]时，x²-2tx-1≤0恒成立，得f′（x）≥0在[x₁，x₂]上恒成立，
所以f（x）在[x₁，x₂]上递增，
所以由题意知g（t）=f（x₂）-f（x₁）=

x2?t

x22+1

?

x1?t

x12+1

，
结合（1），将1=-x₁x₂，t=

x1+x2

2

代入上式化简得
g（t）=

x1?x2

2x1x2

=

t2+1

．
在h（t）中，令u=log₂t，则u∈（0，1]，
则函数化为y=

u2+1

?

1 u2 +1

，化简得y＝

u2+1

u

＝u+

1

u

，u∈（0，1]，
根据对勾函数的性质，该函数在（0，1]上递减，
所以函数h（t）的值域为[2，+∞）．