Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上．设AQ=x，矩形PQMN的面积为y．（1）求等腰梯形ABCD的面积；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面积最大时，将△PQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P’，请判断此时△BMP’的形状．

Answer 1

解答：解：（1）过C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，
∵DC∥AB，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴BE=CE=2，
∴AB=4，BF=EF=1，
由勾股定理得：CF=

3

，
                      
S梯形＝

1

2

(2+4)×

3

＝3

3

．

（2）如图（2）：
由题知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ为等边三角形，
则PQ=x，
∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，
∴∠DPN=30°，
又∠D=120°，
∴∠DNP=30°，
则DP=DN=2-x，
作DE⊥PN于点E，
在Rt△DPE中，DP=2-x，∠DPE=30°，
则PE＝DPcos30°＝(2?x)×

3

2

，
∵DP=DN，DE⊥PN，
则PN=?

3

x+2

3

，
y＝PQ×PN＝x(?

3

x+2

3

)＝?

3

x2+2

3

x，
∴y与x的函数关系式是y=-

3

x²+2

3

x．

（3）由题意得，PQ=PN，
∴x＝?

3

x+2

3

，
x＝

2 3

3 +1

＝3?

3

，
∴当x=3-

3

时，矩形PQMN是正方形．

（4）y＝?

3

(x?1)2+

3

，
当x=1时，y最大＝

3

，
∠AQP=60°，
∠PQN=60°，
∠NQB=60°，
∴P′在AB上，
又QP=QP′=1，
∴AP′=2，
MP′=P′Q=1，BP′=2，
过M作MH⊥AB于H，连接QN，
∵MN=2，MQ=