Question

设f(x)是定义在(-∞,+∞)上,以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间【2，3】

设f(x)是定义在(-∞,+∞)上,以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间[2，3]上，f(x)=-2(x-3)^2+4,则x∈[0,2]时，求f(x)的表达式。

要过程和答案哦！

Answer 1

以2为周期，则在[0,1]上与在[2,3]上图像相同，
2(x-3)^2+4向左平移两个单位，得到
y=2(x-1)^2+4，x∈[0,1]
这个函数本来是关于x=1对称的，
所以y=2(x-1)^2+4，x∈[0,2]

Answer 2

是否是求"x∈[1,2]时，f(x)的表达式。"

参考:

f(x)是偶函数 所以f(x)关于Y轴对称，
2为周期的周期函数，所以也对X=2对称。
f(x)=-(x-3)^2+4的对称轴是X=3，X=3对X=2对称后是X=1
则 x∈[1，2]时，f(x)=-(x-1)^2+4

2.

分析：
偶函数有一条对称轴是x=0
那么以2为周期的函数 说明 0-2是一个周期 2-4是令一个周期
【2，3】的函数【1,2】的函数关于=2对称
解：
因为函数关于x=2对称
所以
设【1,2】对应为X1 Y1 【2，3】对应为 X2 Y2
X1 X2分别是两段函数上对应的点
X1+X2=4
Y1=Y2

带入函数解析式：
Y1=Y2=-(X2-3)²+4
因为 X1+X2=4
所以 X2=4-X1
带入 Y1=-（4-X1-3）²+4
化简 Y1=-（1-X1）²+4

所以 当x∈【1,2】时，f(x)的解析式为
y=-（1-x）²+4