Question

∫1/x*（ 根号下（1-x）/（1+x））dx

具体题目看一下这个照片，谢谢了！！

Answer 1

结果为：1+x-2√(1+x)+2ln[1+√(1+x)]+C

解题过程如下：

令√(1+x)=t,则x=t²-1，dx=2tdt

原式=∫t*2tdt/(1+t)

=2∫(t²-1+1)dt/(1+t)

=2∫(t-1)dt+2∫dt/(1+t)

=t²-2t+2ln|1+t|+C

=1+x-2√(1+x)+2ln[1+√(1+x)]+C

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分记。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 2

引用飘渺的绿梦2的回答：
令√［（1－x）/（1＋x）］＝u，则：（1－x）/（1＋x）＝u^2，∴1－x＝u^2＋xu^2，
∴x（1＋u^2）＝1－u^2，∴x＝（1－u^2）/（1＋u^2），
∴dx＝｛［（1－u^2）′（1＋u^2）－（1－u^2）（1＋u^2）′］/（1＋u^2）^2｝du
　　＝－4［u/（1＋u^2）^2］du。
∴∫（1/x）√［（1－x）/（1＋x）］dx
＝－4∫［（1＋u^2）/（1－u^2）］u［u/（1＋u^2）^2］du
＝－4∫｛u^2/［（1＋u^2）（1－u^2）］｝du
＝2∫［1/（1＋u^2）］du－2∫［1/（1－u^2）］du
＝2arctanu－∫［1/（1－u）］du－∫［1/（1＋u）］du
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－u｜－ln｜1＋u｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－√［（1－x）/（1＋x）］｜
　－ln｜1＋√［（1－x）/（1＋x）］｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜
　－ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜＋C。

为什么2个项化成积分的时候，那个2∫du/(1-u^2)不能化成2arcsinu？

Answer 3

令√［（1－x）/（1＋x）］＝u，则：（1－x）/（1＋x）＝u^2，∴1－x＝u^2＋xu^2，
∴x（1＋u^2）＝1－u^2，∴x＝（1－u^2）/（1＋u^2），
∴dx＝｛［（1－u^2）′（1＋u^2）－（1－u^2）（1＋u^2）′］/（1＋u^2）^2｝du
　　＝－4［u/（1＋u^2）^2］du。
∴∫（1/x）√［（1－x）/（1＋x）］dx
＝－4∫［（1＋u^2）/（1－u^2）］u［u/（1＋u^2）^2］du
＝－4∫｛u^2/［（1＋u^2）（1－u^2）］｝du
＝2∫［1/（1＋u^2）］du－2∫［1/（1－u^2）］du
＝2arctanu－∫［1/（1－u）］du－∫［1/（1＋u）］du
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－u｜－ln｜1＋u｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜1－√［（1－x）/（1＋x）］｜
　－ln｜1＋√［（1－x）/（1＋x）］｜＋C
＝2arctan｛√［（1－x）/（1＋x）］｝＋ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜
　－ln｜√（1＋x）－√（1－x）｜＋C。